试题

如图中有四个面积相同的圆，每个圆的面积都记为S，∠ABC的两边分别经过圆心O₁、O₂、O₃和O₄，四个圆盖的面积为
5（S-1），∠ABC内部被圆盖住的面积为8，阴影部分的面积为S₁、S₂、S₃满足关系式：S3=

1

3

S1=

1

3

S2．求S的值．

解：∵S3=

1

3

S1=

1

3

S2，
∴S₁=S₂=3S₃，①
∵四个圆所盖的面积为5（S-1），
∴S+S-S₁+S-S₂-S₃+S=5（S-1），
把①代入整理得：S+7S₃=5②，
∵∠ABC内部被圆盖住的面积为8，
根据相交两圆的性质得：

S

2

+

S

2

-

S1

2

+

S

2

-S₂+

S

2

-

S3

2

=8，
把①代入整理得：2S-5S₃=8③，
解方程组

S+7S3=5② 2S-5S3=8③

，
②×5+③×7得：19S=81，
∴S=

81

19

．
解：∵S3=

1

3

S1=

1

3

S2，
∴S₁=S₂=3S₃，①
∵四个圆所盖的面积为5（S-1），
∴S+S-S₁+S-S₂-S₃+S=5（S-1），
把①代入整理得：S+7S₃=5②，
∵∠ABC内部被圆盖住的面积为8，
根据相交两圆的性质得：

S

2

+

S

2

-

S1

2

+

S

2

-S₂+

S

2

-

S3

2

=8，
把①代入整理得：2S-5S₃=8③，
解方程组

S+7S3=5② 2S-5S3=8③

，
②×5+③×7得：19S=81，
∴S=

81

19

．