试题

（1998·浙江）如图，BC是⊙A的直径，以B为圆心的圆与⊙A交于M，N两点，MN交BC于点P．
（1）求证：CM是⊙B的切线；
（2）若⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，求CM和MN的长．

（1）证明：连接BM，
∵BC是⊙A的直径，
∴∠MBC=90°，
∴BM⊥CM，
∴CM是⊙B的切线；

（2）解：在Rt△BCM中，
∵BC=2×2=4，BM=1，
∴CM=

BC2-BM2

=

42-12

=

15

，
又∵BC是直径，
∴BC⊥MN，
∴∠CPM=90°，MN=2PM；
又∵∠CMB=90°，∠MCP=∠BCM，
∴△MPC∽△BMC，
∴BM：BC=PM：CM，
∴1：4=PM：

15

，
∴PM=

15

4

，
∴MN=2PM=

15

2

．
（1）证明：连接BM，
∵BC是⊙A的直径，
∴∠MBC=90°，
∴BM⊥CM，
∴CM是⊙B的切线；

（2）解：在Rt△BCM中，
∵BC=2×2=4，BM=1，
∴CM=

BC2-BM2

=

42-12

=

15

，
又∵BC是直径，
∴BC⊥MN，
∴∠CPM=90°，MN=2PM；
又∵∠CMB=90°，∠MCP=∠BCM，
∴△MPC∽△BMC，
∴BM：BC=PM：CM，
∴1：4=PM：

15

，
∴PM=

15

4

，
∴MN=2PM=

15

2

．