试题

题目：
青果学院（2002·四川）已知：如图，⊙O的半径为R，CD是⊙O的直径，以点D为圆心，以r（r＜R）为半径作⊙D，⊙D与⊙O相交于A、B两点，BD的延长线与⊙D相交于点E，连接AE．
求证：（1）AE∥CD；（2）AE=
r2
R
．
答案
青果学院证明：（1）连接AB，则CD⊥AB
又BE是⊙D的直径
∴∠EAB=90°，即AE⊥AB
∴AE∥CD．

（2）接CB，则∠CBD=90°
又CD⊥AB
∴弧BD=弧AD
∴∠C=∠EBA
∴Rt△CDB∽Rt△BEA
∴
CD
BE
=
BD
AE
即
2R
2r
=
r
AE

∴AE=
r2
R
．
青果学院证明：（1）连接AB，则CD⊥AB
又BE是⊙D的直径
∴∠EAB=90°，即AE⊥AB
∴AE∥CD．

（2）接CB，则∠CBD=90°
又CD⊥AB
∴弧BD=弧AD
∴∠C=∠EBA
∴Rt△CDB∽Rt△BEA
∴
CD
BE
=
BD
AE
即
2R
2r
=
r
AE

∴AE=
r2
R
．
考点梳理
相交两圆的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）两圆相交，则连心线垂直平分两圆的公共弦，即CD⊥AB，又BE是⊙D的直径，即AE⊥AB，因此AE∥CD．
（2）求AE的长，可通过证明两直角三角形，即△CDB和△BEA相似，借助于比例线段来求解．
本题考查了相似的判定、两圆的位置关系以及一些基本知识点，难易程度适中．
综合题．
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