试题

（2003·湖州）已知如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦O₁C交AB于D，交⊙O₁于E．
求证：（l）O₁A²=O₁D·O₁C；   （2）BE平分∠ABC．

证明：（1）∵0₁A=O₁B，
∴∠ACO₁=∠BCO₁，
∵∠O₁AB=∠O₁CB，
∴∠O₁AB=∠O₁CA，
∵∠AO₁C=∠DO₁A，
∴△AO₁C∽△DO₁A，
∴

O1A

O1D

=

O1C

O1A

，
∴O₁A²=O₁D·O₁C；

（2）∵∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，
又∵∠AO₁D=180°-∠ADO₁-∠O₁AB，∠ABC=180°-∠CDB-∠O₁CB，
∴∠AO₁D=∠ABC，
∵∠AO₁D=2∠ABE，
∴∠ABC=2∠ABE，
∴BE平分∠ABC．
证明：（1）∵0₁A=O₁B，
∴∠ACO₁=∠BCO₁，
∵∠O₁AB=∠O₁CB，
∴∠O₁AB=∠O₁CA，
∵∠AO₁C=∠DO₁A，
∴△AO₁C∽△DO₁A，
∴

O1A

O1D

=

O1C

O1A

，
∴O₁A²=O₁D·O₁C；

（2）∵∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，
又∵∠AO₁D=180°-∠ADO₁-∠O₁AB，∠ABC=180°-∠CDB-∠O₁CB，
∴∠AO₁D=∠ABC，
∵∠AO₁D=2∠ABE，
∴∠ABC=2∠ABE，
∴BE平分∠ABC．