试题

（2000·昆明）已知：如图，点P是半径为5cm的⊙O外的一点，OP=13cm；PT切⊙O于T点，过P点作⊙O的割线PAB（PB＞PA）．设PA=x，PB=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；
（2）这个函数有最大值吗？若有，求出此时△PBT的面积；若没有，请说明理由；
（3）是否存在这样的割线PAB，使得S_△PAT=

1

2

S_△PBT？若存在，请求出PA的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）连接OT；
∵PT切⊙O于T点，
∴∠OTP=90°，
∵OP=13cm，OT=5cm，
∴PT=12；
∵PT为切线，
∴PT²=PA×PB，
∴xy=144，
∴y=

144

x

（8≤x≤12）．

（2）由（1）得x=8时，y最大．为18，此时TB为直径，等于10，
∴△PBT的面积=PT×TB÷2=12×10÷2=60；

（3）∵∠TPA=∠TPA，∠PTA=∠PBT，
∴△PTA∽△PBT，
∵S_△PAT=

1

2

S_△PBT，
∴PA：PT=1：

2

，
∵PT=12，
∴PA=6

2

，
∵在自变量的取值范围内，
∴存在．
解：（1）连接OT；
∵PT切⊙O于T点，
∴∠OTP=90°，
∵OP=13cm，OT=5cm，
∴PT=12；
∵PT为切线，
∴PT²=PA×PB，
∴xy=144，
∴y=

144

x

（8≤x≤12）．

（2）由（1）得x=8时，y最大．为18，此时TB为直径，等于10，
∴△PBT的面积=PT×TB÷2=12×10÷2=60；

（3）∵∠TPA=∠TPA，∠PTA=∠PBT，
∴△PTA∽△PBT，
∵S_△PAT=

1

2

S_△PBT，
∴PA：PT=1：

2

，
∵PT=12，
∴PA=6

2

，
∵在自变量的取值范围内，
∴存在．