试题

设a，b，c为实数，且a≠0．抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上．若A，B，C三点构成一个直角三角形，求这个直角三角形的面积的最大值．

解：设y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=-

b

a

，x₁·x₂=

c

a

，
所以c²=-

c

a

，
∴c=-

1

a

，
∵

4ac-b2

4a

=-1，
∴4a=4+b²，且a≥1，
∴S_△ABC=

1

2

×|c|×|x₁-x₂|
=

1

2a

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2a

b2 a2 + 4 a2

=

1 a3

≤1，
当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．
解：设y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，x₁+x₂=-

b

a

，x₁·x₂=

c

a

，
所以c²=-

c

a

，
∴c=-

1

a

，
∵

4ac-b2

4a

=-1，
∴4a=4+b²，且a≥1，
∴S_△ABC=

1

2

×|c|×|x₁-x₂|
=

1

2a

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2a

b2 a2 + 4 a2

=

1 a3

≤1，
当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．