试题

（2010·鄂尔多斯）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此太阳光线与地面成30°夹角．（

2

≈1.4，

3

≈1.7）
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线于地面夹角保持不变（用图（2）解答）
①求树与地面成45°角时的影长；
②求树的最大影长．

解：（1）AB=ACtan30°=12×

3

3

=4

3

≈7（米）．
答：树高约为7米．

（2）作B₁N⊥AC₁于N．
①如图（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=4

3

×

2

2

≈5（米）．
NC₁=NB₁tan60°=2

6

×

3

≈8.5（米）．
AC₁=AN+NC₁=5+8.5=13.5（米）．
答：树与地面成45°角时的影长约为13.5米．

②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC₂（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC₂=2AB₂≈14．
答：树的最大影长约为14米．
解：（1）AB=ACtan30°=12×

3

3

=4

3

≈7（米）．
答：树高约为7米．

（2）作B₁N⊥AC₁于N．
①如图（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=4

3

×

2

2

≈5（米）．
NC₁=NB₁tan60°=2

6

×

3

≈8.5（米）．
AC₁=AN+NC₁=5+8.5=13.5（米）．
答：树与地面成45°角时的影长约为13.5米．

②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC₂（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC₂=2AB₂≈14．
答：树的最大影长约为14米．