试题

如图，位置A，B位于河的两岸，河宽为m，A，B之间的水平距离为4m．某人走路速度是游泳速度的2倍，欲从位置A前往位置B，采用图中的路线，则夹角α=时，所花费的时间最少．

解：结合图形，设人游泳的速度为v，根据三角函数之间的关系，可得MN的长度为MN=

m

cosα

，
即人在水里的所耗费的时间为

m

v·cosα

，又人走路的总长度为d=4-mtanα，
即可得出人走路所耗费的时间为

4-mtanα

2v

，
即人所用的总时间为T=

m

v·cosα

+ 

4-mtanα

2v

，
当α=30°时，T最小，即α=30°时，人所用的总时间最少．
故填：30°．

过点M作对岸的垂线，设垂足为C，在Rt△MCN中，设NC=x（x≥0），则MN=

x2+m2

，
设人游泳的速度为V，则步行速度为2V，
则从A到B所花费的时间为

4m-MC

2v

+

MN

v

=

4m-x

2v

+

x2+m2

v

=

1

2v

（4m+2

x2+m2

-x）
设y=2

x2+m2

-x（x≥0），则有x+y=2

x2+m2

，两边平方化简得到：3x²-2yx+4m²-y²=0
因为x≥0，所以△=16y²-48m²≥0，y≥

3

m，
所以当y=

3

m时y取得最小值，此时方程有两个等根，x=

3

3

m．
在Rt△MCN中，NC=x=

3

3

m，MC=m，所以α=30°．