试题

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于A（3，0），B（0，

3

）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请画出所有符合条件的点P，并求其中一个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设函数解析式为y=kx+b，
根据题意

3k+b=0 b= 3

，
解得

k=- 3 3 b= 3

，
∴y=-

3

3

x+

3

．

（2）过O作OP⊥AB垂足为P，得△OBA∽△PBO，
过B作BP″⊥y轴，使BP″=OA，连接OP″，得△OBA∽△BOP″，
过B作BP′⊥OP″，垂足为P′，得△OBA∽△P′OB，
由题可得OA=3，OB=

3

，AB=2

3

，∠OAB=30°．
①若△BOP∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
②若△BPO∽△OAB，则∠BOP=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
③当∠OPB=90°时，
过点P作OP⊥BC（如图），此时△PBO∽△OAB，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；

④若△POB∽△OAB，则∠OBP=∠BAO=30°，∠P₄OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P₄M=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
故符合条件的点有四个：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）．
解：（1）设函数解析式为y=kx+b，
根据题意

3k+b=0 b= 3

，
解得

k=- 3 3 b= 3

，
∴y=-

3

3

x+

3

．

（2）过O作OP⊥AB垂足为P，得△OBA∽△PBO，
过B作BP″⊥y轴，使BP″=OA，连接OP″，得△OBA∽△BOP″，
过B作BP′⊥OP″，垂足为P′，得△OBA∽△P′OB，
由题可得OA=3，OB=

3

，AB=2

3

，∠OAB=30°．
①若△BOP∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
②若△BPO∽△OAB，则∠BOP=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
③当∠OPB=90°时，
过点P作OP⊥BC（如图），此时△PBO∽△OAB，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；

④若△POB∽△OAB，则∠OBP=∠BAO=30°，∠P₄OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P₄M=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
故符合条件的点有四个：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）．