试题

如图，G、H分别是两个有公共顶点B的等腰直角三角形斜边的中点，P是两直角顶点连线CE的中点．
（1）如图1，当A、B、D在同一条直线上，探究PG、PH的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当A、B、D不在同一条直线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．

解：（1）PG=PH．
如图1∵△ABC和△BDE是等腰直角三角形，
∴∠A=∠EBD=45°，∠D=∠CBA=45°，
∴AC∥BE，BC∥DE，
∴四边形ABEC和四边形BDEC是梯形，
∵G，H，P分别是AB，BD，CE的中点，
∴GP，HP分别是梯形ABEC和梯形BDEC的中位线，
∴PG∥AC，PH∥BC，
∴∠PGH=∠PHG=45°，
∴PG=PH，∠GPH=90°，
∴PG与PH相等且垂直；

（2）仍然成立；理由如下：
连接CG，并延长至M，使得CG=GM，连接ME、BM；
连接EH，并延长至N，使得EH=HN，连接CN、BN；

则PG、PH分别是△CME、△ECN的中位线；
等腰△ABC中，G是AB中点，则CG⊥AG；
而CG=GM，则四边形AMBC的对角线相等且互相垂直平分，
即四边形AMBC是正方形，△CBM是等腰直角三角形；
同理△EBN也是等腰直角三角形；
∴CB=BM，BE=BN，且∠CBM=∠EBN=90°；
又∵∠MBE=∠CBN=90°+∠CBE，
∴△MBE≌△CBN，得ME=CN；
又∵ME=2PG，CN=2PH，
则PG=PH．
所以（1）题的结论依然成立．
解：（1）PG=PH．
如图1∵△ABC和△BDE是等腰直角三角形，
∴∠A=∠EBD=45°，∠D=∠CBA=45°，
∴AC∥BE，BC∥DE，
∴四边形ABEC和四边形BDEC是梯形，
∵G，H，P分别是AB，BD，CE的中点，
∴GP，HP分别是梯形ABEC和梯形BDEC的中位线，
∴PG∥AC，PH∥BC，
∴∠PGH=∠PHG=45°，
∴PG=PH，∠GPH=90°，
∴PG与PH相等且垂直；

（2）仍然成立；理由如下：
连接CG，并延长至M，使得CG=GM，连接ME、BM；
连接EH，并延长至N，使得EH=HN，连接CN、BN；

则PG、PH分别是△CME、△ECN的中位线；
等腰△ABC中，G是AB中点，则CG⊥AG；
而CG=GM，则四边形AMBC的对角线相等且互相垂直平分，
即四边形AMBC是正方形，△CBM是等腰直角三角形；
同理△EBN也是等腰直角三角形；
∴CB=BM，BE=BN，且∠CBM=∠EBN=90°；
又∵∠MBE=∠CBN=90°+∠CBE，
∴△MBE≌△CBN，得ME=CN；
又∵ME=2PG，CN=2PH，
则PG=PH．
所以（1）题的结论依然成立．