试题

对于有理数x，用[x]表示不大于x的最大整数，请解方程20+3y-10[

25+y2

25

]=0．

解：因为方程左边的第1、3项都是整数，
所以3y是整数．
注意到[

25+y2

25

]=[1+

y2

25

]=1+[

y2

25

]，
代入方程，得到20+3y-10-10[

y2

25

]=0，
1+

3y

10

-[

y2

25

]=0．
所以

3y

10

是整数，3y是10的倍数．
令3y=10k，k是整数，
代入得0=1+k-[

100k2

9×25

]=1+k-[

4k2

9

]=1+k-

4k2

9

+{

4k2

9

}，
其中，对于有理数x，x=x-[x]．
所以有1+k-

4k2

9

=-{

4k2

9

}，-1＜1+k-

4k2

9

≤0．
当k取不同整数时，1+k-

4k2

9

的情况如下表：

k	≤-2	=-1	=0	=1	=2	=3	＞3
1-k- 4k2 9	＜-1	=- 4 9	=1	= 14 9	= 11 9	=0	＜-1

k的可能值是-1和3，相应的y=-

10

3

和y=10．
代入验算得到y=-

10

3

或y=10．
故答案：y=-

10

3

或y=10．
解：因为方程左边的第1、3项都是整数，
所以3y是整数．
注意到[

25+y2

25

]=[1+

y2

25

]=1+[

y2

25

]，
代入方程，得到20+3y-10-10[

y2

25

]=0，
1+

3y

10

-[

y2

25

]=0．
所以

3y

10

是整数，3y是10的倍数．
令3y=10k，k是整数，
代入得0=1+k-[

100k2

9×25

]=1+k-[

4k2

9

]=1+k-

4k2

9

+{

4k2

9

}，
其中，对于有理数x，x=x-[x]．
所以有1+k-

4k2

9

=-{

4k2

9

}，-1＜1+k-

4k2

9

≤0．
当k取不同整数时，1+k-

4k2

9

的情况如下表：

k	≤-2	=-1	=0	=1	=2	=3	＞3
1-k- 4k2 9	＜-1	=- 4 9	=1	= 14 9	= 11 9	=0	＜-1

k的可能值是-1和3，相应的y=-

10

3

和y=10．
代入验算得到y=-

10

3

或y=10．
故答案：y=-

10

3

或y=10．