试题
题目：
（1）先化简
(
a
2
a-2
+
4
2-a
)·
1
a
2
+2a
，再选你最喜欢的a值代入求值．
（2）已知：（x
2
+y
2
）
2
-（x
2
+y
2
）-12=0，求x
2
+y
2
的值．
答案
解：（1）（
a
2
a-2
+
4
2-a
）·
1
a
2
+2a
=（
a
2
a-2
-
4
a-2
）·
1
a(a+2)
=
(a+2)(a-2)
a-2
·
1
a(a+2)
=
1
a
，
当a=1时，原式=1；
（2）（x
2
+y
2
）
2
-（x
2
+y
2
）-12=0，
设x
2
+y
2
=a，则有a
2
-a-12=0，
因式分解得：（a-4）（a+3）=0，
解得：a
1
=4，a
2
=-3，
∵x
2
+y
2
＞0，即a＞0，
∴a=-3不合题意，舍去，
则x
2
+y
2
=a=4．
解：（1）（
a
2
a-2
+
4
2-a
）·
1
a
2
+2a
=（
a
2
a-2
-
4
a-2
）·
1
a(a+2)
=
(a+2)(a-2)
a-2
·
1
a(a+2)
=
1
a
，
当a=1时，原式=1；
（2）（x
2
+y
2
）
2
-（x
2
+y
2
）-12=0，
设x
2
+y
2
=a，则有a
2
-a-12=0，
因式分解得：（a-4）（a+3）=0，
解得：a
1
=4，a
2
=-3，
∵x
2
+y
2
＞0，即a＞0，
∴a=-3不合题意，舍去，
则x
2
+y
2
=a=4．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
换元法解一元二次方程；分式的化简求值．
（1）将原式括号中的第二项分母提取-1变形为a-2，然后利用同分母分式的减法法则化简，分子再利用平方差公式分解因式，括号外边的分式分母提取a分解因式，约分可得出最简结果，然后选择a不为2，-2及0的值，比如a=1，将a=1代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值；
（2）设a=x
2
+y
2
，将原方程化为关于a的一元二次方程，利用分解因式法求出方程的解得到a的值，根据x
2
+y
2
大于等于0，得到a大于等于0，将不合题意的a的值舍去，得到满足题意a的值，即为x
2
+y
2
的值．
此题考查了分式的化简求值，以及利用换元法求方程的解，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，本题第二小题利用换元法求方程解时，注意x
2
+y
2
≥0．
开放型．
找相似题
（2011·恩施州）解方程（x-1）
2
-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y
2
-5y+4=0，解得y
1
=1，y
2
=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x
1
=2，x
2
=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）
2
-4（2x+5）+3=0的解为（ ）
（2005·温州）用换元法解方程（x
2
+x）
2
+（x
2
+x）=6时，如果设x
2
+x=y，那么原方程可变形为（ ）
（2005·泸州）用换元法解方程（x
2
+x）
2
+2（x
2
+x）-1=0，若设y=x
2
+x，则原方程可变形为（ ）
（1998·海淀区）用换元法解方程x
2
+8x+
x
2
+8x-11
=23
，若设y=
x
2
+8x-11
，则原方程可化为（ ）
（1997·辽宁）用换元法解方程
3x
2
+15x+2
x
2
+5x+1
=2
时，设
x
2
+5x+1
=y
，则原方程变为（ ）