试题

如图．设G为△ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线l引垂线AA′，BB′，CC′，GG′（其中A′，B′，C′，G′为垂足）．求证：AA′+BB′+CC′=3GG′．

证明：设M为AC的中点，N为BG的中点，作MM′⊥l于M′，NN′⊥l于N′，则由已知条件可知，MM′是梯形AA′C′C的中位线，NN′是梯形BB′G′G的中位线，
∴MM′=

1

2

(AA′+CC′) ， NN′=

1

2

(BB′+GG′)，
又∵MM′+NN′=2GG′，
即

1

2

(AA′+CC′)+

1

2

(BB′+GG′)=2GG′，
∴AA'+BB'+CC'+GG'=4GG'，
∴AA'+BB'+CC'=3GG'．
证明：设M为AC的中点，N为BG的中点，作MM′⊥l于M′，NN′⊥l于N′，则由已知条件可知，MM′是梯形AA′C′C的中位线，NN′是梯形BB′G′G的中位线，
∴MM′=

1

2

(AA′+CC′) ， NN′=

1

2

(BB′+GG′)，
又∵MM′+NN′=2GG′，
即

1

2

(AA′+CC′)+

1

2

(BB′+GG′)=2GG′，
∴AA'+BB'+CC'+GG'=4GG'，
∴AA'+BB'+CC'=3GG'．