试题

（2008·山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60度．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60度．
∴△ABE≌△ACF．

（2）四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．

（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=2

3

．
∴S_{四边形ABEF}=

1

2

EG·（AB+EF）=

1

2

×2

3

×（6+4）=10

3

．
解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60度．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60度．
∴△ABE≌△ACF．

（2）四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．

（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=2

3

．
∴S_{四边形ABEF}=

1

2

EG·（AB+EF）=

1

2

×2

3

×（6+4）=10

3

．