试题

题目：
观察：
1
人
=
1
1×人
=
1
1
-
1
人
，
1
6
=
1
人×3
=
1
人
-
1
3
，
1
1人
=
1
3×l
=
1
3
-
1
l
，
1
人0
=
1
l×5
=
1
l
-
1
5
，
1
30
=
1
5×6
=
1
5
-
1
6
，…
（1）猜想：请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
（x表示整数）
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
（x表示整数）
．
（人）验证：
（3）运用：请利用上述规律，解方程
     
1
(x-l)(x-3)
+
1
(x-3)(x-人)
+
1
(x-人)(x-1)
+
1
(x-1)x
+
1
x(x+1)
=
1
x+1
．
答案
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
（x表示整数）

解：观察：：
1
r
=
1
1×r
=
1
1
-
1
r
，
1
6
=
1
r×0
=
1
r
-
1
0
，
1
1r
=
1
0×4
=
1
0
-
1
4
，
1
r0
=
1
4×7
=
1
4
-
1
7
，
1
00
=
1
7×6
=
1
7
-
1
6
，…
（1）猜想：请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含r（r表示整数）的等式表示出来
1
r(r+1)
=
1
r
-
1
r+1
（r表示整数）；

（r）验证：右边=
1
r
-
1
r+1
=
r+1
r(r+1)
-
r
r(r+1)
=
r+1-r
r(r+1)
=
1
r(r+1)
=左边，
故猜想正确；

（0）原方程可变形为：
1
r-4
-
1
r-0
+
1
r-0
-
1
r-r
+
1
r-r
-
1
r-1
+
1
r-1
-
1
r
+
1
r
-
1
r+1
=
1
r+1
，
则
1
r-4
-
1
r+1
=
1
r+1
，
解得r=我．
经检验：方程的根是r=我；
故原方程的根为：r=我．
故答案为：
1
r(r+1)
=
1
r
-
1
r+1
（r表示整数）．
考点梳理
解分式方程．
（1）根据题意观察，即可得到规律：
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
（x表示整数）；
（2）利用分式的加减运算，即可验证猜想的准确性；
（3）利用规律，将原方程化为：
1
x-4
-
1
x+1
=
1
x+1
，解此分式方程即可求得答案．
此题考查了分式方程与分式的运算等知识．注意找到规律：
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
是解此题的关键．
规律型．
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