试题

设AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交直线AB于点D，设⊙O的半径是2，当△ACD是等腰三角形时，它的面积是．

解：分两种情况考虑：
（i）当AC=CD时，根据题意画出图形如下：

连接OC，BC，过C作CE⊥AD，
∵CD为圆O的切线，
∴∠DCB=∠CAD，
又∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠BCD=∠CDA，
∵∠OBC为△BCD的外角，
∴∠OBC=∠BCD+∠CDA=2∠CDA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠BOC为△AOC的外角，
∴∠BOC=∠OCA+∠CAD=2∠CAD，
∴∠CBO=∠COB，
∴CO=CB，又OC=OB，
∴OC=OB=BC，又圆O的半径是2，
∴△OBC为边长为2的等边三角形，
∴CE=

3

2

×2=

3

，DB=OB=OA=2，
∴AD=DB+OB+OA=6，
此时S_△ACD=

1

2

AD·CE=3

3

；
（ii）当AC=AD时，根据题意画出相应的图形，

连接BC，OC，过C作CM⊥BD，
∵AC=AD，∴∠ACD=∠D，
∵∠CAO为△ACD的外角，
∴∠CAO=∠ACD+∠D=2∠ACD，
又∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
又AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ACD=∠OBC，
又∵∠COA为△BOC的外角，
∴∠COA=∠OCB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠CAO=∠COA，
∴CO=CA，又OA=OC，
∴OC=OA=AC，又OC=2，
∴△AOC为边长为2的等边三角形，
∴CM=

3

2

×2=

3

，BO=AO=AD=2，
∴AB=4，BD=6，
∴S_△ACD=S_△BCD-S_△ABC=

1

2

BD·CM-

1

2

AB·CM=3

3

-2

3

=

3

，
综上，△ACD的面积为3

3

或

3

．
故答案为：3

3

或

3