试题

题目：
青果学院设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，如图，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC的形状是
等腰三角形
等腰三角形
．
答案
等腰三角形

解：反证法．
假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，则AP＞AQ，
在△ABQ、△ACQ中分别应用正弦定理，得
AP
sinB
=
BP
sinα
=
QC
sinα
=
AQ
sinC
，
则
AP
AQ
=
sinB
sinC
=
AC
AB
，
∴AP·AB=AC·AQ
又∵AB＞AC，
∴AP＜AQ，这与AQ＞AQ矛盾，
∴AB=AC，从而△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
考点梳理
正弦定理与余弦定理；等腰三角形的判定．
假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，则AP＞AQ．然后在△ABQ、△ACQ中分别应用正弦定理求得AP·AB=AC·AQ；又有AB＞AC推知AP＜AQ，这与AP＞AQ矛盾，所以假设不成立，故而AB=AC，所以该三角形是等腰三角形．
本题综合考查了等腰三角形的判定、正弦定理与余弦定理．解答此题时，采用了“反证法”．
证明题．
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