试题

题目：
观察下列各式及验证过程：
1
2
-
1
3
=
1
2
2
3
，验证
1
2
-
1
3
=
1
2×3
=
2
22×3
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
，验证
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
，验证
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15
…
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
答案
解：（1）
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
5
5
24
．

验证：
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
；

（2）
1
n
(
1
n+1
-
1
n+2
)
=
1
n+1
n+1
n(n+2)
（n≥1的整数）．
解：（1）
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
5
5
24
．

验证：
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
；

（2）
1
n
(
1
n+1
-
1
n+2
)
=
1
n+1
n+1
n(n+2)
（n≥1的整数）．
考点梳理
二次根式的性质与化简．
（1）按照所给等式的验证过程得到
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
；
（2）根据所给等式可得到第n个等式为
1
n
(
1
n+1
-
1
n+2
)
=
1
n+1
n+1
n(n+2)
（n≥1的整数），验证过程与（1）一样．
本题考查了二次根式的性质与化简：
a2
=|a|．
规律型．
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