试题

题目：
（2009·滨州）观察下列方程及其解的特征：
（1）x+
1
x
=2的解为x1=x2=1；
（2）x+
1
x
=
5
2
的解为x1=2，x2=
1
2
；
（3）x+
1
x
=
10
3
的解为x1=3，x2=
1
3
；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+
1
x
=
26
5
的解为
x1=5，x2=
1
5
x1=5，x2=
1
5
；
（2）请猜想：关于x的方程x+
1
x
=
a2+1
a
（或a+
1
a
）
a2+1
a
（或a+
1
a
）
的解为x1=a，x2=
1
a
（a≠0）；
（3）下面以解方程x+
1
x
=
26
5
为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为5x2-26x=-5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
答案
x1=5，x2=
1
5

a2+1
a
（或a+
1
a
）

解：（1）x1=5，x2=
1
5
；
（2）
a2+1
a
（或a+
1
a
）；
（3）方程二次项系数化为1，
得x2-
26
5
x=-1．
配方得，
x2-
26
5
x+(-
13
5
)2=-1+(-
13
5
)2，即(x-
13
5
)2=
144
25
，
开方得，
x-
13
5
=±
12
5
，
解得x1=5，x2=
1
5
．
经检验，x1=5，x2=
1
5
都是原方程的解．
考点梳理
解一元二次方程-配方法．
解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．
此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
配方法．
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