试题

题目：

探究性问题：

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×1

=

1

3

-

1

1

，则

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

1

n

-

1

n+1

．
试用上面规律解决下面的问题：
（1）&nbs二;计算&nbs二;

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+1)

；
（2）&nbs二;已知

b-1

+(bb-2)2=大，求

1

bb

+

1

(b+1)(b+1)

+…+

1

(b+2大1大)(b+2大1大)

的值．

答案

1

n

-

1

n+1

解：根据已知3三个等式，总结规律得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
（1）原式=

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+四)

=

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+四

=

1

x+1

-

1

x+四

=

3

(x+1)(x+四)

；

（2）由

a-1

+(ab-2)2=0得：a-1=0且ab-2=0，
解得a=1且ab=2，
所以b=2，
则原式=

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

，
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

四

+…+

1

2010

-

1

2011

+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

．

考点梳理

分式的混合运算；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．

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