试题

题目：
青果学院（2013·门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，则点M1的坐标是
（1，1）
（1，1）
，点M5的坐标是
（-4，-4）
（-4，-4）
；若把点Mn（xn，yn）（n是自然数）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的绝对坐标，则点M8n+3的绝对坐标是
（24n+1，24n+1）
（24n+1，24n+1）
（用含n的代数式表示）．
答案
（1，1）

（-4，-4）

（24n+1，24n+1）

解：∵点M0的坐标为（1，0），线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M1M0⊥OM0，
∴△OM0M1是等腰直角三角形，
∴OM1=
2
OM0=
2
，点M1的坐标为（1，1），
同理可得OM2=
2
×
2
=2，OM3=（
2
）3=2
2
，OM4=（
2
）4=4，
∴点M5的坐标是（-4，-4）；
∴OM8n+2=（
2
）8n+2=24n+1，
∵点M8n+2在y轴的正半轴上，
∴点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）．
故答案为（1，1）；（-4，-4）；（24n+1，24n+1）．
考点梳理
坐标与图形变化-旋转．
由于线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M1M0⊥OM0，所以△OM0M1是等腰直角三角形，而点M0的坐标为（1，0），得到点M1的坐标为（1，1），根据等腰直角三角形的性质得
OM1=
2
OM0=
2
，同理得到OM2=
2
×
2
=2，OM3=（
2
）3=2
2
，OM4=（
2
）4=4，则可确定点M5的坐标，按此规律得到OM8n+2=（
2
）8n+2=24n+1，由于从M0开始，每8个点循环的落在坐标轴和四个象限内，则可得到点M8n+2与点M2的位置一样，都在y轴的正半轴上，于是得到点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：在直角坐标系中利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据各象限点的坐标特征确定点的坐标．也考查了规律型问题的解决方法和等腰直角三角形的判定与性质．
新定义；规律型．
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