试题

（2012·佛山）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x²的某种数值变化规律进行初步研究：

xi	0	1	2	3	4	5	…
yi	0	1	4	9	16	25	…
yi+1-yi	1	3	5	7	9	11	…

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…
请回答：
①当x的取值从0开始每增加

1

2

个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加

1

n

个单位时，y的值变化规律是什么？

解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；

（2）有理数b=

m

n

（n≠0）；

（3）①当x=0时，y=0，
当x=

1

2

时，y=

1

4

，
当x=1时，y=1，
当x=

3

2

时，y=

9

4

．
故当x的取值从0开始每增加

1

2

个单位时，y的值依次增加

1

4

、

3

4

、

5

4

…

②当x=0时，y=0，
当x=

1

n

时，y=

1

n2

，
当x=

2

n

时，y=

4

n2

，
当x=

3

n

时，y=

9

n2

，
故当x的取值从0开始每增加

1

n

个单位时，y的值依次增加

1

n2

、

3

n2

、

5

n2

…
解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；

（2）有理数b=

m

n

（n≠0）；

（3）①当x=0时，y=0，
当x=

1

2

时，y=

1

4

，
当x=1时，y=1，
当x=

3

2

时，y=

9

4

．
故当x的取值从0开始每增加

1

2

个单位时，y的值依次增加

1

4

、

3

4

、

5

4

…

②当x=0时，y=0，
当x=

1

n

时，y=

1

n2

，
当x=

2

n

时，y=

4

n2

，
当x=

3

n

时，y=

9

n2

，
故当x的取值从0开始每增加

1

n

个单位时，y的值依次增加

1

n2

、

3

n2

、

5

n2

…