试题

请回答：

1

8

能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？

1

8

能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由．

解：（1）由于

1

2

+

1

3

+

1

6

=1，
故有

1

8

=

1

8

×(

1

2

+

1

3

+

1

6

)=

1

16

+

1

24

+

1

48

．
所以，

1

8

能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）．
（2）不妨设a＜b＜c，
现在的问题就是寻找整数a，b，c，
满足

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

由a＜b＜c，则有，
从而

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

＜

3

a2

，
所以a²＜24．又有

1

8

＞

1

a2

，
所以a²＞8，故a²=9或16．
若a²=9，则有

1

b2

+

1

c2

=

1

8

-

1

9

=

1

72

，
由于

1

72

＜

1

b2

，并且

2

b2

＞

1

b2

+

1

c2

=

1

72

，
所以b²＞72，72＜b²＜144．
故b²=81，100或121．将b²=81、100和121分别代入c2=

72b2

b2-72

，没有一个是完全平方数，
说明当a²=9时，

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

无解．
若a²=16，则

1

b2

+

1

c2

=

1

8

-

1

16

=

1

16

．
类似地，可得：16＜b²＜32，即b²=25，
此时，c2=

16b2

b2-16

=

16×25

9

不是整数．
综上所述，

1

8

不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和．
评分参考：①正确回答第一问给（5分）（答案不唯一）；
②能得到a²=9或16，给（6分）；
③能分别对a²=9和16讨论

1

8

能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给（2分），共（4分）；
④对代数式合理和正确的推导适当给分．
特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考．
解：（1）由于

1

2

+

1

3

+

1

6

=1，
故有

1

8

=

1

8

×(

1

2

+

1

3

+

1

6

)=

1

16

+

1

24

+

1

48

．
所以，

1

8

能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）．
（2）不妨设a＜b＜c，
现在的问题就是寻找整数a，b，c，
满足

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

由a＜b＜c，则有，
从而

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

＜

3

a2

，
所以a²＜24．又有

1

8

＞

1

a2

，
所以a²＞8，故a²=9或16．
若a²=9，则有

1

b2

+

1

c2

=

1

8

-

1

9

=

1

72

，
由于

1

72

＜

1

b2

，并且

2

b2

＞

1

b2

+

1

c2

=

1

72

，
所以b²＞72，72＜b²＜144．
故b²=81，100或121．将b²=81、100和121分别代入c2=

72b2

b2-72

，没有一个是完全平方数，
说明当a²=9时，

1

8

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

无解．
若a²=16，则

1

b2

+

1

c2

=

1

8

-

1

16

=

1

16

．
类似地，可得：16＜b²＜32，即b²=25，
此时，c2=

16b2

b2-16

=

16×25

9

不是整数．
综上所述，

1

8

不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和．
评分参考：①正确回答第一问给（5分）（答案不唯一）；
②能得到a²=9或16，给（6分）；
③能分别对a²=9和16讨论

1

8

能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给（2分），共（4分）；
④对代数式合理和正确的推导适当给分．
特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考．