试题

题目：
已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（　　）



答案
B
解：∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，
∴2|ab|≤a2+b2=1，
∴-
1
2
≤ab≤
1
2
，
令y=a4+ab+b4=（a2+b2）2-2a2b2+ab=-2a2b2+ab+1=-2（ab-
1
4
）2+
9
8
，
当-
1
2
≤ab≤
1
4
时，y随ab的增大而增大，
当
1
4
≤ab≤
1
2
时，y随ab的增大而减小，
故当ab=-
1
2
时，a4+ab+b4的最小值，为-2（-
1
2
-
1
4
）2+
9
8
=-2×
9
16
+
9
8
=0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-
1
2
，此时a=-
2
2
，b=
2
2
，或 a=
2
2
，b=-
2
2
．
故选B．
考点梳理
二次函数的最值；完全平方公式．
利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a-b）2=a2-2ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．
常规题型．
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