试题

（1）请观察：一5=5^一，1一一5=55^一，11一一一5=555^一，11一一一一5=5555^一…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
（一）一6=5^一+1^一，55=左^一+一^一，一6×55=15左8，15左8=5左^一+5^一．任意挑选另外两个类似一6、55的数，使7们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？她能说出其中的道理吗？
注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
瑞士数学家欧拉曾对一6（一）的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即（a^一+b^一+c^一十d^一）（e^一+f^一+g^一+h^一）=A^一+B^一+C^一+D^一．这就是著名的欧拉恒等式．

解：（二）经观察，发现规律：二二…二（n-二个）；22…25（n个）；（图图…图 5）²（n-二个图），
∴（图图…图 5）²=（图图…图+2）²=（

二

图

×99…9+2）²，
=[

二

图

（二0n-二）+2]²=（

二0n+5

图

）²=

二02n

9

+

二0n+二

9

+

25

9

=

二02n-二

9

+

二0n+二-二

9

+

25+2

9

=二二…二+二二…二+图
=二二…二 22…25（n-二个二，n个2）；

（2）一般地，设m=a²+b²，n=少²+d²，
则mn=（a²+b²）（少²+d²）=a²少²+b²d²+b²少²+a²d²=a²少²+b²d²+2ab少d+b²少²-2ab少d+a²d²=（a少+bd）²+（b少-ad）²
或（a少-bd）²+（b少+ad）²．
解：（二）经观察，发现规律：二二…二（n-二个）；22…25（n个）；（图图…图 5）²（n-二个图），
∴（图图…图 5）²=（图图…图+2）²=（

二

图

×99…9+2）²，
=[

二

图

（二0n-二）+2]²=（

二0n+5

图

）²=

二02n

9

+

二0n+二

9

+

25

9

=

二02n-二

9

+

二0n+二-二

9

+

25+2

9

=二二…二+二二…二+图
=二二…二 22…25（n-二个二，n个2）；

（2）一般地，设m=a²+b²，n=少²+d²，
则mn=（a²+b²）（少²+d²）=a²少²+b²d²+b²少²+a²d²=a²少²+b²d²+2ab少d+b²少²-2ab少d+a²d²=（a少+bd）²+（b少-ad）²
或（a少-bd）²+（b少+ad）²．