试题

题目：
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决．
例如：计算
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5

此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂，但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单．
分析方法：因为
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，
所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下：
解：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
=1-
1
5
=
4
5

（1）应用上面的方法计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
；
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
（只填答案）．
（3）类比应用上面的方法探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
．
答案
n
n+1

解：（1）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
2011
-
1
2012
）=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2011
-
1
2012
=1-
1
2012
=
2011
2012
；

（2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
；

（3）
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
=
1
4
[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
1005
-
1
1006
）]=
1
4
×（1-
1
1006
）=
1005
4024
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）利用题中的方法得到
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
2011
-
1
2012
），然后去括号合并即可；
（2）与（1）一样得到
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
，然后进行合并；
（3）把
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2010×2012
变形为（2）中的形式得到
1
4
[（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+（
1
1005
-
1
1006
）]，然后利用（2）中的方法计算．
本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了阅读理解能力．
计算题．
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