试题

题目：
观察下列等式：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）直接写出下列各式的计算结果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
；
（2）探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008
．
答案
2006
2007

解：（1）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2006
-
1
2007
=1-
1
2007
=
2006
2007
；
（2）原式=
1
4
（
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
1003×1004
）
=
1
4
（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
1003
-
1
1004
）
=
1
4
（1-
1
1004
）=
1003
4016
．
故答案为：（1）
2006
2007
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）根据已知的等式得到规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n为正整数），将所求式子利用此规律拆项，抵消后通分，利用同分母分数的减法法则计算，即可得到结果；
（2）将所求式子提取
1
4
，并将剩下的分母写出相邻两数积的形式，利用上述规律拆项，抵消后计算，即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时利用利用运算律来简化运算．解题的关键是找出规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
（n为正整数）．
规律型．
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