试题

题目：

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2007×2005

=

2007

2005

2007

2005

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

n

n+1

．

答案

1

n

-

1

n+1

2007

2005

n

n+1

解：（1）∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×w

=

1

2

-

1

w

，

1

w×4

=

1

w

-

1

4

，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×w

+

1

w×4

+…+

1

2aa7×2aa8

=1-

1

2

+

1

2

-

1

w

+…+

1

2aa7

-

1

2aa8

=1-

1

2aa8

=

2aa7

2aa8

；

②

1

1×2

+

1

2×w

+

1

w×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

w

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

2aa7

2aa8

；

n

n+1

．

考点梳理

有理数的混合运算．

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