试题

题目：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…根据上面的规律求下列各式的值．
（1）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
99×100
；
（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
97×99
．
答案
解：（1）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
99×100

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
99
-
1
100

=1-
1
100

=
99
100
；

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
97×99

=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
97
-
1
99
）
=
1
2
（1-
1
99
）
=
49
99
．
解：（1）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
99×100

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
99
-
1
100

=1-
1
100

=
99
100
；

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
97×99

=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
97
-
1
99
）
=
1
2
（1-
1
99
）
=
49
99
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）根据上述的式子总结出规律为：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，按照此规律把所求式子的每一项拆项化简，抵消合并即可求出值；
（2）根据上述的式子总结出规律为：
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
），然后按照此规律把所求式子的每一项拆项化简，抵消合并即可求出值；
此题有理数的混合运算，是一道规律型题，解答此类题常常认真观察已知的等式，进行分析，归纳总结得到一般性的规律来解决问题．根据题意归纳出一般性的规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
是解本题的关键．
规律型．
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