试题

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EC=4，ED=2，AC=6，求CD的长．

解：（1）AE是⊙O的切线，
证明：连接CO，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵CD∥AO，CO=DO，
∴∠1=∠2，∠2=∠4，∠1=∠3，
∴∠3=∠4，
∵CO=BO，AO=AO，
∴

AO=AO ∠3=∠4 CO=BO

，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∴AE与⊙O相切于点C；

（2）∵CD∥AO，
∴

EC

EA

=

CD

AO

=

ED

EO

，
∵EC=4，ED=2，AC=6，
∴

4

10

=

2

2+DO

，
∴DO=3，
∴BO=3，
∵AC，AB是⊙O的切线，
∴AC=AB=6，
∴AO=

BO2+AB2

=3

5

，
∴

CD

AO

=

2

5

=

CD

3 5

，
∴CD=

6 5

5

．
解：（1）AE是⊙O的切线，
证明：连接CO，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵CD∥AO，CO=DO，
∴∠1=∠2，∠2=∠4，∠1=∠3，
∴∠3=∠4，
∵CO=BO，AO=AO，
∴

AO=AO ∠3=∠4 CO=BO

，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∴AE与⊙O相切于点C；

（2）∵CD∥AO，
∴

EC

EA

=

CD

AO

=

ED

EO

，
∵EC=4，ED=2，AC=6，
∴

4

10

=

2

2+DO

，
∴DO=3，
∴BO=3，
∵AC，AB是⊙O的切线，
∴AC=AB=6，
∴AO=

BO2+AB2

=3

5

，
∴

CD

AO

=

2

5

=

CD

3 5

，
∴CD=

6 5

5

．