试题

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=

3 -1

2

，求证：△DCE≌△OCB．

解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
∵∠ABC=30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对

AC

，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-90°-60°=30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
则△DCE为等腰三角形；

（2）∵OA=OB=1，OF=

3 -1

2

，
∴AF=AO+OF=1+

3 -1

2

=

3 +1

2

，OA=AC=OC=1，
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF=

3

+1，
∴CE=AE-AC=

3

+1-1=

3

，
又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴cos30°=

BC

AB

，即BC=ABcos30°=

3

，
∴CB=CE=

3

，
在△OBC和△DCE中，
∵

∠B=∠DCE=30° BC=CE ∠OCB=∠E=30°

，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
∵∠ABC=30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对

AC

，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-90°-60°=30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
则△DCE为等腰三角形；

（2）∵OA=OB=1，OF=

3 -1

2

，
∴AF=AO+OF=1+

3 -1

2

=

3 +1

2

，OA=AC=OC=1，
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF=

3

+1，
∴CE=AE-AC=

3

+1-1=

3

，
又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴cos30°=

BC

AB

，即BC=ABcos30°=

3

，
∴CB=CE=

3

，
在△OBC和△DCE中，
∵

∠B=∠DCE=30° BC=CE ∠OCB=∠E=30°

，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．