试题

（2011·苏州模拟）如图，△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：DE=

1

2

AC；
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为S，且DG=a，GC=b，试求△BCG的面积．（用a、b、s的代数式表示）

解：如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；

（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH=

1

2

AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH=

1

2

AC；

（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S_△DGF=

1

2

S_△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S_△BCG：S_△ADG=（

CG

DG

）²=（

b

a

）²，
∴S_△BCG=

2b2S

a2

．
解：如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；

（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH=

1

2

AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH=

1

2

AC；

（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S_△DGF=

1

2

S_△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S_△BCG：S_△ADG=（

CG

DG

）²=（

b

a

）²，
∴S_△BCG=

2b2S

a2

．