试题

已知：如图，点A、B、C为⊙O上的点，点D在OC的延长线上，∠CBA=∠CDA=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB于M，BC=5，求DC的长．

（1）证明：连接OA，
∵∠B是

AC

所对的圆周角，∠O是

AC

所对的圆心角，
∠CBA=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠CDA=30°，
∴∠CDA+∠O=90°．
∴∠OAD=90°．
∴OA⊥AD．
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线，

（2）解：∵OD⊥AB于M，
∴AM=BM．
∵∠B=30°，BC=5，
∴CM=

5

2

，BM=

5 3

2

．
∴AM=

5 3

2

．
在Rt△MAD中，
∵∠CDA=30°，
∴tan30°=

AM

DM

=

5 3 2

DM

=

3

3

．
解得：DM=

5 3

2

×

3

=

15

2

．
∴CD=DM-CM=

15

2

-

5

2

=5．
∴CD=5．
（1）证明：连接OA，
∵∠B是

AC

所对的圆周角，∠O是

AC

所对的圆心角，
∠CBA=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠CDA=30°，
∴∠CDA+∠O=90°．
∴∠OAD=90°．
∴OA⊥AD．
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线，

（2）解：∵OD⊥AB于M，
∴AM=BM．
∵∠B=30°，BC=5，
∴CM=

5

2

，BM=

5 3

2

．
∴AM=

5 3

2

．
在Rt△MAD中，
∵∠CDA=30°，
∴tan30°=

AM

DM

=

5 3 2

DM

=

3

3

．
解得：DM=

5 3

2

×

3

=

15

2

．
∴CD=DM-CM=

15

2

-

5

2

=5．
∴CD=5．