试题

题目：
青果学院如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．
答案
解：DP=PE．证明如下：
∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC．
∴DE∥BC，
∴Rt△AEP∽Rt△ABC，得
EP
BC
=
AE
AB
．①
又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，
∴Rt△AED∽Rt△OBC．
∴
ED
BC
=
AE
OB
=
AE
1
2
AB
=
2AE
AB
②
由①，②得ED=2EP．
∴DP=PE．
解：DP=PE．证明如下：
∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC．
∴DE∥BC，
∴Rt△AEP∽Rt△ABC，得
EP
BC
=
AE
AB
．①
又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，
∴Rt△AED∽Rt△OBC．
∴
ED
BC
=
AE
OB
=
AE
1
2
AB
=
2AE
AB
②
由①，②得ED=2EP．
∴DP=PE．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；切线的判定与性质．
解答此题的关键是利用AB是⊙O的直径，BC是切线，求证Rt△AEP∽Rt△ABC和Rt△AED∽Rt△OBC，然后利用其对应边成比例即可得出结论．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和切线的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是求证Rt△AEP∽Rt△ABC，Rt△AED∽Rt△OBC，此题属于中档题．
证明题．
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