试题

题目：
青果学院（2008·宝安区一模）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAD=∠CAB，CD⊥AD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）如果AB=5，cos∠CAB=
4
5
，求AD的长．
答案
青果学院解：如右图所示．
（1）证明：连接CO，
∵CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠CAB，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴DC⊥OC，
又∵CO是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，cos∠CAB=
4
5
，
∴AC=4，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴
AD
AC
=
AC
AB
=
4
5
，
∴AD=
16
5
．
青果学院解：如右图所示．
（1）证明：连接CO，
∵CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠CAB，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴DC⊥OC，
又∵CO是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，cos∠CAB=
4
5
，
∴AC=4，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴
AD
AC
=
AC
AB
=
4
5
，
∴AD=
16
5
．
考点梳理
切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）连接CO，由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，而∠CAD=∠CAB，于是∠OCA=∠CAD，可证OC∥AD，而CD⊥AD，易证∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）连接CB，在Rt△ABC中，易求AC，又CD⊥AD，易得∠ADC=∠ACB=90°，而∠CAD=∠CAB，那么Rt△ACD∽Rt△ABC，利用比例线段可求AD．
本题考查了平行线的判定和性质、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OC、BC，构造平行线和直角三角形，并证明OC∥AD、Rt△ACD∽Rt△ABC．
计算题；证明题．
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