试题

题目：
青果学院（2012·河东区二模）如图，已知AD是圆O直径，点C在圆上，点B在线段AD延长线上，且∠A=∠B=30°，连接BC．
（1）证明：BC是圆O的切线；
（2）若圆O的半径为
3
，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，当直线DP为圆O的切线时，求线段DP的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圆O的切线；

（2）解：连接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD·sin30°=
3
，
∴BD=
3
，
∵直线DP为圆O的切线，
∴DP⊥AB，则△BDP∽△BCO，
∴
PD
OC
=
BD
BC
，
∵BC=
BO2-CO2
=3，
∴PD=
BD
BC
×OC=
3
3
×
3
=1．
青果学院（1）证明：连接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圆O的切线；

（2）解：连接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD·sin30°=
3
，
∴BD=
3
，
∵直线DP为圆O的切线，
∴DP⊥AB，则△BDP∽△BCO，
∴
PD
OC
=
BD
BC
，
∵BC=
BO2-CO2
=3，
∴PD=
BD
BC
×OC=
3
3
×
3
=1．
考点梳理
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OC．欲证BC是圆O的切线，只需证明BC⊥OC；
（2）连接CD．通过相似三角形△BDP∽△BCO的对应边成比例列出比例式
PD
OC
=
BD
BC
，从而求得PD的长度．
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．判定切线时，经常作的辅助线是“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
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