试题

（2007·双流县）如图，AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠PCE=2∠BDC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=2：1，PB=6，求弦CD的长．

（1）证明：连接OC，
∵∠PCE=2∠BDC，
∴∠PCE=∠COB，
∵CD⊥AB，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵AE：EB=2：1，
∵CD⊥AB，OC⊥CP，
∴OC²=OP·OE，
设EB=x，则AE=2x，OE=

x

2

，OC=

3x

2

，
∴（

3x

2

）²=（

3x

2

+6）·

x

2

解方程得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴OE=1，OC=3，
∴CE=

OC2-OE2

=2

2

，
∴CD=2CE=4

2

．
（1）证明：连接OC，
∵∠PCE=2∠BDC，
∴∠PCE=∠COB，
∵CD⊥AB，
∴∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵AE：EB=2：1，
∵CD⊥AB，OC⊥CP，
∴OC²=OP·OE，
设EB=x，则AE=2x，OE=

x

2

，OC=

3x

2

，
∴（

3x

2

）²=（

3x

2

+6）·

x

2

解方程得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴OE=1，OC=3，
∴CE=

OC2-OE2

=2

2

，
∴CD=2CE=4

2

．