试题

（2011·阜新）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，AC=CD，连接AD交BC于点M，延长MC到N，使CN=CM．
（1）判断直线AN是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若AC=10，tan∠CAD=

3

4

，求AD的长．

解：（1）直线AN是⊙O的切线，理由是：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵CN=CM，
∴∠CAN=∠DAC，
∵AC=CD，
∴∠D=∠DAC，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠NAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠BAC=90°，
∴OA⊥AN，
∴直线AN是⊙O的切线；

（2）过点C作CE⊥AD，
∵tan∠CAD=

3

4

，
∴

CE

AE

=

3

4

，
∵AC=10，
∴设CE=3x，则AE=4x，
在Rt△ACE中，根据勾股定理，CE²+AE²=AC²，
∴（3x）²+（4x）²=100，
解得x=2，
∴AE=8，
∵AC=CD，
∴AD=2AE=2×8=16．
解：（1）直线AN是⊙O的切线，理由是：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵CN=CM，
∴∠CAN=∠DAC，
∵AC=CD，
∴∠D=∠DAC，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠NAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠BAC=90°，
∴OA⊥AN，
∴直线AN是⊙O的切线；

（2）过点C作CE⊥AD，
∵tan∠CAD=

3

4

，
∴

CE

AE

=

3

4

，
∵AC=10，
∴设CE=3x，则AE=4x，
在Rt△ACE中，根据勾股定理，CE²+AE²=AC²，
∴（3x）²+（4x）²=100，
解得x=2，
∴AE=8，
∵AC=CD，
∴AD=2AE=2×8=16．