试题

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于D点，与边AC交于E点，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；      
（2）若DE=

5

，AB=5，求AE的长．

（1）证明：如图，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴AD是△ABC的中线，即D是BC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G．
由（1）知，AD是等腰△ABC底边BC的中线、高线，
∴AD平分∠BAC，
∴DE=DB=

5

．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-DB2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
在Rt△ABD中，S△ABD=

1

2

·AD·DB=

1

2

·AB·DG，即

1

2

×2

5

×

5

=

1

2

×5·DG，
∴DG=2．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG=2，
在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

( 5 )2-22

=1．
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

(2 5 )2-22

=4．
∴AE=AF-EF=3．
（1）证明：如图，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴AD是△ABC的中线，即D是BC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G．
由（1）知，AD是等腰△ABC底边BC的中线、高线，
∴AD平分∠BAC，
∴DE=DB=

5

．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-DB2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
在Rt△ABD中，S△ABD=

1

2

·AD·DB=

1

2

·AB·DG，即

1

2

×2

5

×

5

=

1

2

×5·DG，
∴DG=2．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG=2，
在Rt△DEF中，EF=

DE2-DF2

=

( 5 )2-22

=1．
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

(2 5 )2-22

=4．
∴AE=AF-EF=3．