试题

（2012·大丰市一模）如图所示，在直角坐标平面内，函数y=

m

x

(x＞0，m是常数)的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）四边形ABCD能否为菱形？如果能，请求出四边形ABCD为菱形时，直线AB的函数解析式；如果不能，请说明理由．

（1）解：根据题意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），故设点D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴将x=1，y=4代入反比例函数解析式得：4=

m

1

，即m=4，
∵根据点B（a，b）在反比例函数图象上，
∴将x=a，y=b代入反比例函数解析式得：ab=4，
∴S_△ABD=

1

2

BD·AM=

1

2

×a×（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴a=3，b=

4

3

，
则点B的坐标为（3，

4

3

）；

（2）证明：由C（1，0），设D（0，b），
则直线DC的斜率为k_DC=

b-0

0-1

=-b．
同理，根据A（1，4），（a，b），可得直线AB的斜率为k_AB=

b-4

a-1

．
∵点B在反比例函数图象上，有ab=4，
∴k_AB=

b-4

a-1

=

b-ab

a-1

=-b=k_DC，
则DC∥AB；

（3）四边形ABCD能为菱形，而四边形ABCD的对角线互相垂直，
故当ABCD是平行四边形时，四边形ABCD就是菱形，
由（2）得DC∥AB，要使ABCD是平行四边形，
只需DC=AB，即

(1-a)2+(4-b)2

=

12+b2

，
两边平方得：1-2a+a²+16-8b+b²=1+b²，即a²-2a-8b+16=0①，
又∵ab=4，即b=

4

a

②，
将②代入①得：（a-2）（a²+16）=0，
解得：a=2，
将a=2代入②得：b=2，
∴B（2，2），
则点为B（2，2）时，四边形ABCD为菱形时，
此时直线AB的斜率为k_AB=

2-4

2-1

=-2，
由直线的点斜式方程，得AB方程为y-2=-2（x-2），即y=-2x+6，
则所求函数解析式为y=-2x+6．
（1）解：根据题意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），故设点D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴将x=1，y=4代入反比例函数解析式得：4=

m

1

，即m=4，
∵根据点B（a，b）在反比例函数图象上，
∴将x=a，y=b代入反比例函数解析式得：ab=4，
∴S_△ABD=

1

2

BD·AM=

1

2

×a×（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴a=3，b=

4

3

，
则点B的坐标为（3，

4

3

）；

（2）证明：由C（1，0），设D（0，b），
则直线DC的斜率为k_DC=

b-0

0-1

=-b．
同理，根据A（1，4），（a，b），可得直线AB的斜率为k_AB=

b-4

a-1

．
∵点B在反比例函数图象上，有ab=4，
∴k_AB=

b-4

a-1

=

b-ab

a-1

=-b=k_DC，
则DC∥AB；

（3）四边形ABCD能为菱形，而四边形ABCD的对角线互相垂直，
故当ABCD是平行四边形时，四边形ABCD就是菱形，
由（2）得DC∥AB，要使ABCD是平行四边形，
只需DC=AB，即

(1-a)2+(4-b)2

=

12+b2

，
两边平方得：1-2a+a²+16-8b+b²=1+b²，即a²-2a-8b+16=0①，
又∵ab=4，即b=

4

a

②，
将②代入①得：（a-2）（a²+16）=0，
解得：a=2，
将a=2代入②得：b=2，
∴B（2，2），
则点为B（2，2）时，四边形ABCD为菱形时，
此时直线AB的斜率为k_AB=

2-4

2-1

=-2，
由直线的点斜式方程，得AB方程为y-2=-2（x-2），即y=-2x+6，
则所求函数解析式为y=-2x+6．