试题

（2008·福州质检）如图，已知一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象相交于A（1，

3

）、B（-3，-

3

3

）两点，且与x轴相交于点C．连接OA、OB．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点Q为反比例函数y=

k

x

（k＞0）图象上的动点，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得以P、Q、O为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵一次函数与反比例函数相交于A、B两点，
∴

3 =a+b - 3 3 =-3a+b

与

3

=

k

1

，∴

a= 3 3 b= 2 3 3

，k=

3

．（3分）
∴所求一次函数的解析式是y=

3

3

x+

2

3

3

，
所求反比例函数的解析式是y=

3

x

．（4分）

（2）解法（一）：由一次函数y=

3

3

x+

2

3

3

，令y=0，得x=-2．
∴点C的坐标是（-2，0）．（5分）
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×2×

3

+

1

2

×2×

3

3

（6分）=

4

3

3

．（8分）
解法（二）：分别过点A、B作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，且分别延长相交于G，
∴S_△AOB=S_△ABG-S_△BOF-S_△AOE-S_矩形OFGE=

1

2

BG·AG-

1

2

BF·OF-

1

2

OE·AE-OE·OF=

1

2

×4×

4

3

3

-

1

2

×3×

3

3

-

1

2

×1×

3

-1×

3

3

（6分）=

4

3

3

．（8分）

（3）设直线AC交y轴于点D，
∵y=

3

3

x+

2

3

3

，
∴OD=

2

3

3

．
在Rt△COD中，
∵tan∠DCO=

OD

OC

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠DCO=30°，即∠ACO=30°．
在Rt△AOE中，
∵tan∠AOE=

AE

OE

=

3

1

=

3

，
∴∠AOE=60°．∴∠OAC=∠AOE-∠ACO=30°．
∴△OAC是底角为30°的等腰三角形．（9分）
作∠QOX=30°与反比例函数y=

3

x

（x＞0）的图象交于点Q，设Q（m，

3

m

），
作QH⊥x轴，H为垂足，
在Rt△QOH中，tan30°=

3 m

m

，∴m²=3，∴m=

3

（取正数）
∴Q(

3

，1)（10分）
取OP₁=2OH=2

3

，则∠QP₁O=30°．
∴△P₁QO∽△AOC．∴p1(2

3

，0)．（11分）
过点Q作∠P₂QO=30°，交x轴于点P₂，∴△OP₂Q∽△COA．
由∠QP₂H=60°，得

QH

QP2

=sin60°=

3

2

，
∴P₂Q=

2 3

3

．∴P2(

2

3

3

，0)．（12分）
根据双曲线的对称性，故可将△AOC绕原点O旋转180°，得到△Q′O P₃，由此可得点 Q′必在双曲线左支上，点P₃在x轴正半轴上．
∴Q′(-1，-

3

)，P₃（2，0）．（14分）
综上所述，所有符合条件的点的坐标分别是p1(2

3

，0)，p2(

2

3

3

，0)，P₃（2，0）．
解：（1）∵一次函数与反比例函数相交于A、B两点，
∴

3 =a+b - 3 3 =-3a+b

与

3

=

k

1

，∴

a= 3 3 b= 2 3 3

，k=

3

．（3分）
∴所求一次函数的解析式是y=

3

3

x+

2

3

3

，
所求反比例函数的解析式是y=

3

x

．（4分）

（2）解法（一）：由一次函数y=

3

3

x+

2

3

3

，令y=0，得x=-2．
∴点C的坐标是（-2，0）．（5分）
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×2×

3

+

1

2

×2×

3

3

（6分）=

4

3

3

．（8分）
解法（二）：分别过点A、B作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，且分别延长相交于G，
∴S_△AOB=S_△ABG-S_△BOF-S_△AOE-S_矩形OFGE=

1

2

BG·AG-

1

2

BF·OF-

1

2

OE·AE-OE·OF=

1

2

×4×

4

3

3

-

1

2

×3×

3

3

-

1

2

×1×

3

-1×

3

3

（6分）=

4

3

3

．（8分）

（3）设直线AC交y轴于点D，
∵y=

3

3

x+

2

3

3

，
∴OD=

2

3

3

．
在Rt△COD中，
∵tan∠DCO=

OD

OC

=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠DCO=30°，即∠ACO=30°．
在Rt△AOE中，
∵tan∠AOE=

AE

OE

=

3

1

=

3

，
∴∠AOE=60°．∴∠OAC=∠AOE-∠ACO=30°．
∴△OAC是底角为30°的等腰三角形．（9分）
作∠QOX=30°与反比例函数y=

3

x

（x＞0）的图象交于点Q，设Q（m，

3

m

），
作QH⊥x轴，H为垂足，
在Rt△QOH中，tan30°=

3 m

m

，∴m²=3，∴m=

3

（取正数）
∴Q(

3

，1)（10分）
取OP₁=2OH=2

3

，则∠QP₁O=30°．
∴△P₁QO∽△AOC．∴p1(2

3

，0)．（11分）
过点Q作∠P₂QO=30°，交x轴于点P₂，∴△OP₂Q∽△COA．
由∠QP₂H=60°，得

QH

QP2

=sin60°=

3

2

，
∴P₂Q=

2 3

3

．∴P2(

2

3

3

，0)．（12分）
根据双曲线的对称性，故可将△AOC绕原点O旋转180°，得到△Q′O P₃，由此可得点 Q′必在双曲线左支上，点P₃在x轴正半轴上．
∴Q′(-1，-

3

)，P₃（2，0）．（14分）
综上所述，所有符合条件的点的坐标分别是p1(2

3

，0)，p2(

2

3

3

，0)，P₃（2，0）．