试题

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．
（1）求证：线段AB为⊙P的直径；
（2）求△AOB的面积．

（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．

（2）解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一点，
∴mn=12．
则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO·OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24．
（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．

（2）解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一点，
∴mn=12．
则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO·OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24．