试题

题目：
（2013·江阴市模拟）如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=
5
13
．
探究  如图1，AH⊥BC于点H，则AH=
12
12
，AC=
15
15
，△ABC的面积S△ABC=
84
84
．
拓展  如图2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现  请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并直接写出这个最小值．
青果学院
答案
12

15

84

解：∵在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=
5
13
，
∴
BH
AB
=
5
13
，
∴BH=5，
∴AH=
132-52
=12，
∴HC=9，AC=
122+92
=15，
∴△ABC的面积S△ABC=
1
2
×12×14=84；
故答案为：12，15，84；

（1）由三角形面积公式得出：S△ABD=
1
2
mx，S△CBD=
1
2
nx；

（2）∵m=
2S△ABD
x
，n=
2S△CBD
x
，
∴m+n=
2S△ABD
x
+
2S△CBD
x
=
168
x
，
由于AC边上的高为：
2S△ABC
15
=
2×84
15
=
56
5
，
∴x的取值范围为：
56
5
≤x≤14，
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴x=
56
5
时，（m+n）的最大值为：15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；

（3）x的取值范围是x=
56
5
或13＜x≤14，
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为
56
5
．
考点梳理
反比例函数综合题．
探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=
5
13
，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=
2S△ABD
x
，n=
2S△CBD
x
，再根据S△ABD+S△CBD=S△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于
56
5
且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
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