试题

（2013·平顶山二模）已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为

1

2

．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为1，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．

（1）设A点坐标为（x，y）由题意可知OP=x，PA=y
∴S_△AOP=

1

2

xy=

1

2

，
∴xy=1，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=xy=1，
∴y=

1

x

；

（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于M点，这时MA+MB最小．
∵点B的横坐标是1，
∴点B的纵坐标是y=

1

1

=1，
∴B（1，1），
∵A点是正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=

1

x

的图象交点，
∴2x=

1

x

，
解得x=±

2

2

，
∵点A在第一象限，
∴A点的横坐标是

2

2

，
∴点A的坐标（

2

2

，

2

），
∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（

2

2

，-

2

），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入得：

k+b=1 2 2 k+b=- 2

，
解之得

k=4+3 2 b=-3-3 2

，
∴直线AB的解析式为y=（4+3

2

）x-3-3

2

，
当y=0时，x=

3+3 2

4+3 2

=

6-3 2

2

，
故M（

6-3 2

2

，0）．
（1）设A点坐标为（x，y）由题意可知OP=x，PA=y
∴S_△AOP=

1

2

xy=

1

2

，
∴xy=1，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=xy=1，
∴y=

1

x

；

（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于M点，这时MA+MB最小．
∵点B的横坐标是1，
∴点B的纵坐标是y=

1

1

=1，
∴B（1，1），
∵A点是正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=

1

x

的图象交点，
∴2x=

1

x

，
解得x=±

2

2

，
∵点A在第一象限，
∴A点的横坐标是

2

2

，
∴点A的坐标（

2

2

，

2

），
∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（

2

2

，-

2

），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入得：

k+b=1 2 2 k+b=- 2

，
解之得

k=4+3 2 b=-3-3 2

，
∴直线AB的解析式为y=（4+3

2

）x-3-3

2

，
当y=0时，x=

3+3 2

4+3 2

=

6-3 2

2

，
故M（

6-3 2

2

，0）．