试题

已知如图，A、B两点的坐标分别为A（0，2

3

），B（2，0），直线AB与反比例函数y=

m

x

的图象交于C和D（-1，a）
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕O逆时针方向旋转角α（α为锐角）得到OB′C′，当α=度时OC′⊥AB．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（0，2

3

），B（2，0）代入解析式y=kx+b中，得

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

．
∴直线AB的解析式为y=-

3

x+2

3

，
将D（-1，a）代入y=-

3

x+2

3

得：a=3

3

，
∴点D坐标为（-1，3

3

），
将D（-1，3

3

）代入y=

m

x

中得：m=-3

3

，
∴反比例函数的解析式为y=-

3 3

x

；

（2）联立得：

y=- 3 x+2 3 y=- 3 3 x

，
解得：

x=3 y=- 3

或

x=-1 y=3 3

，
∴点C坐标为（3，-

3

），
过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，CM=

3

，OM=3，
∴tan∠COM=

CM

OM

=

3

3

，∴∠COM=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO=

AO

OB

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ABO=60°，
∴∠ACO=∠ABO-∠COE=30°；

（3）如图，若OC′⊥AB，则有∠BNO=90°，
∵∠NBO=60°，∴∠BON=30°，
∵∠COM=30°，
∴∠COC′=∠COM+∠BON=60°，即旋转角为60°，
则当α=60°时，OC′⊥AB．
故答案为：60．