试题

如图，矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上且A（1，0），B（4，0），C（4，2），反比例函数y=

k

x

在第一象限内的图象恰好过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将矩形ABCD分别沿直线CD、BC翻折，得到矩形EFCD、矩形GHBC、线段EF、GH分别交函数y=

k

x

图象于K、J两点．①求直线KJ的解析式；②若点N是x轴上一动点，直接写出当|NK-NJ|值最大时N点坐标；
（3）点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点P，使得以A、M、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=

k

x

图象过点C（4，2），
∴

k

4

=2，
解得k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=

8

x

；

（2）①由题意得，点K的纵坐标2×2=4，点J的横坐标是4+（4-1）=7，
∵点K、J都在反比例函数y=

8

x

的图象上，
∴K（2，4），J（7，

8

7

），
设直线KJ的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=4 7k+b= 8 7

，
解得

k=- 4 7 b= 36 7

，
∴直线KJ的解析式为y=-

4

7

x+

36

7

；
②根据三角形的三边关系|NK-NJ|＜KJ，
∴当点N在直线KJ与x轴的交点时，|NK-NJ|=KJ最大，
此时-

4

7

x+

36

7

=0，
解得x=9，
∴点N的坐标是（9，0）；

（3）存在．
如图所示，AC为菱形的边时，存在点P₁（4+

13

，2），
P₂（4-

13

，2），P₃（4，-2），
AC为对角线时，存在点P₄（

11

6

，2）．
解：（1）∵y=

k

x

图象过点C（4，2），
∴

k

4

=2，
解得k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=

8

x

；

（2）①由题意得，点K的纵坐标2×2=4，点J的横坐标是4+（4-1）=7，
∵点K、J都在反比例函数y=

8

x

的图象上，
∴K（2，4），J（7，

8

7

），
设直线KJ的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=4 7k+b= 8 7

，
解得

k=- 4 7 b= 36 7

，
∴直线KJ的解析式为y=-

4

7

x+

36

7

；
②根据三角形的三边关系|NK-NJ|＜KJ，
∴当点N在直线KJ与x轴的交点时，|NK-NJ|=KJ最大，
此时-

4

7

x+

36

7

=0，
解得x=9，
∴点N的坐标是（9，0）；

（3）存在．
如图所示，AC为菱形的边时，存在点P₁（4+

13

，2），
P₂（4-

13

，2），P₃（4，-2），
AC为对角线时，存在点P₄（

11

6

，2）．