试题

如图，在第一象限内，双曲线y=

6

x

上有一动点B，过点B作直线BC∥y轴，交双曲线y=

1

x

于点C，作直线BA∥x轴，交双曲线y=

1

x

于点A，过点C作直线CD∥x轴，交双曲线y=

6

x

于点D，连接AC、BD．
（1）当B点的横坐标为2时，①求A、B、C、D四点的坐标；②求直线BD的解析式；
（2）B点在运动过程中，梯形ACDB的面积会不会变化？如会变化，请说明理由；如果不会变化，求出它的固定值．

解：（1）①把x=2代入y=

6

x

，得y=3，
故点B的坐标为（2，3），
把x=2代入y=

1

x

，得y=

1

2

，
故C（2，

1

2

），
把y=3代入y=

1

x

，得x=

1

3

，
故点A的坐标为（

1

3

，3），
把y=

1

2

代入y=

6

x

，得x=12，
故点D的坐标为（12，

1

2

）；
②设直线BD所表示的函数关系式为：y=kx+b，
由题意得，

3=2k+b 1 2 =12k+b

，
解得

k=- 1 4 b= 7 2

，
故直线AB所表示的函数关系式为：y=-

1

4

x+

7

2

．

（2）设B点的坐标为（m，

6

m

），
则A（

m

6

，

6

m

）、C（m，

1

m

）、D（6m，

1

m

），
∴AB=m-

m

6

=

5

6

m，CD=6m-m=5m，BC=

6

m

-

1

m

=

5

m

，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（

5

6

m+5m）×

5

m

=

1

2

×

35

6

×5=

175

12

，
故B点在运动过程中，梯形ACDB的面积不变，恒等于

175

12

．
解：（1）①把x=2代入y=

6

x

，得y=3，
故点B的坐标为（2，3），
把x=2代入y=

1

x

，得y=

1

2

，
故C（2，

1

2

），
把y=3代入y=

1

x

，得x=

1

3

，
故点A的坐标为（

1

3

，3），
把y=

1

2

代入y=

6

x

，得x=12，
故点D的坐标为（12，

1

2

）；
②设直线BD所表示的函数关系式为：y=kx+b，
由题意得，

3=2k+b 1 2 =12k+b

，
解得

k=- 1 4 b= 7 2

，
故直线AB所表示的函数关系式为：y=-

1

4

x+

7

2

．

（2）设B点的坐标为（m，

6

m

），
则A（

m

6

，

6

m

）、C（m，

1

m

）、D（6m，

1

m

），
∴AB=m-

m

6

=

5

6

m，CD=6m-m=5m，BC=

6

m

-

1

m

=

5

m

，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（

5

6

m+5m）×

5

m

=

1

2

×

35

6

×5=

175

12

，
故B点在运动过程中，梯形ACDB的面积不变，恒等于

175

12

．