试题

如图，正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B、点P（m，n）在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当P点的横坐标大于B点的横坐标，且S_{四边形AEPG}=

9

2

时，求PA所在的直线方程；
（3）求函数y=m+n的最小值；
（注：可使用如下平均值定理：若a＞0，b＞0，则a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时等号成立．）

解：（1）∵正方形OABC的面积是9，
∴AB=BC=3，
即B点坐标为（3，3），
把B（3，3）代入函数y=

k

x

中，
得k=xy=9；

（2）设P（a，

9

a

），（a＞3），则PG=a-3，PE=

9

a

，
由S_{四边形AEPG}=PG×PE=

9

2

，得（a-3）·

9

a

=

9

2

，
解得a=6，故P（6，

3

2

），
设直线PA解析式为y=kx+b，将P（6，

3

2

），A（3，0）两点坐标代入，
得

6k+b= 3 2 3k+b=0

，
解得

k=  1 2 b=-  3 2

，
∴直线PA的解析式为y=

1

2

x-

3

2

；

（3）∵点P（m，n）在双曲线y=

9

x

上，
∴n=

9

m

，
∴y=m+n=m+

9

m

≥2

m·  9 m

=6，
∴函数y=m+n的最小值为6．
解：（1）∵正方形OABC的面积是9，
∴AB=BC=3，
即B点坐标为（3，3），
把B（3，3）代入函数y=

k

x

中，
得k=xy=9；

（2）设P（a，

9

a

），（a＞3），则PG=a-3，PE=

9

a

，
由S_{四边形AEPG}=PG×PE=

9

2

，得（a-3）·

9

a

=

9

2

，
解得a=6，故P（6，

3

2

），
设直线PA解析式为y=kx+b，将P（6，

3

2

），A（3，0）两点坐标代入，
得

6k+b= 3 2 3k+b=0

，
解得

k=  1 2 b=-  3 2

，
∴直线PA的解析式为y=

1

2

x-

3

2

；

（3）∵点P（m，n）在双曲线y=

9

x

上，
∴n=

9

m

，
∴y=m+n=m+

9

m

≥2

m·  9 m

=6，
∴函数y=m+n的最小值为6．