试题

题目：
青果学院已知反比例函数y=
k
4x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+2，b+k）两点．
（1）求：反比例函数的解析式．
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上．求点A的坐标．
（3）利用（2）的结果，问在x轴上是否存在点P，使得△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标直接写出来；若不存在，说明理由．
答案
解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得
2a-1=b
2(a+2)-1=b+k
，解得k=4，青果学院
所以反比例函数解析式为y=
1
x
；

（2）解方程组
y=
1
x
y=2x-1
得
x=-
1
2
y=-2
或
x=1
y=1
，
∵A点在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）；

（3）存在．
OA=
12+12
=
2
，
满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（
2
，0）、（-
2
，0）．
解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得
2a-1=b
2(a+2)-1=b+k
，解得k=4，青果学院
所以反比例函数解析式为y=
1
x
；

（2）解方程组
y=
1
x
y=2x-1
得
x=-
1
2
y=-2
或
x=1
y=1
，
∵A点在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）；

（3）存在．
OA=
12+12
=
2
，
满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（
2
，0）、（-
2
，0）．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x+1得到
2a-1=b
2(a+2)-1=b+k
，然后结果代数式变形可解得k=4，则可确定反比例函数解析式；
（2）把一次函数与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组可确定A点坐标；
（3）先利用勾股计算出OA=
2
，过A点作AP1⊥x轴，则△OAP1为等腰三角形；作点O关于AP1的对称点P2，则△OAP2为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P3，P4，则△OAP3、△OAP4为等腰三角形；然后利用线段长分别确定各点坐标．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质；运用分类讨论的思想解决问题．
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