试题

（2008·呼和浩特）如图，正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数y=

k

x

（k＜0，x＜0）的图象上，点P（m，n）是函数y=

k

x

（k＜0，x＜0）的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E，F．
（1）设矩形OEPF的面积为S₁，试判断S₁是否与点P的位置有关；（不必说明理由）
（2）从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S₂，写出S₂与m的函数关系，并标明m的取值范围．

解：（1）S₁与点P的位置无关．
∵无论点P在何位置，S₁=|k|，
∴S₁与点P的位置无关；

（2）∵正方形OABC的面积为4，
∴OC=OA=2．
∴B（-2，2）．
把B（-2，2）代入y=

k

x

中，2=

k

-2

；
∴k=-4．
∴解析式为y=-

4

x

．
∵P（m，n）在y=-

4

x

的图象上，
∴n=-

4

m

．
①当P在B点上方时，
S₂=S_矩形PEOF-S_{四边形EOCQ}，
-

4

m

（-m）-2（-m）
=4+2m（-2＜m＜0）；
②当P在B点下方时，
S₂=S_{矩形PE′OF′}-S_{矩形MAOF′}=-m×（-

4

m

）-2×（-

4

m

)，
=4+

8

m

（m＜-2）．
综上所述S₂=

4+2m  (-2＜m＜0) 4+ 8 m      (m＜-2)

．
解：（1）S₁与点P的位置无关．
∵无论点P在何位置，S₁=|k|，
∴S₁与点P的位置无关；

（2）∵正方形OABC的面积为4，
∴OC=OA=2．
∴B（-2，2）．
把B（-2，2）代入y=

k

x

中，2=

k

-2

；
∴k=-4．
∴解析式为y=-

4

x

．
∵P（m，n）在y=-

4

x

的图象上，
∴n=-

4

m

．
①当P在B点上方时，
S₂=S_矩形PEOF-S_{四边形EOCQ}，
-

4

m

（-m）-2（-m）
=4+2m（-2＜m＜0）；
②当P在B点下方时，
S₂=S_{矩形PE′OF′}-S_{矩形MAOF′}=-m×（-

4

m

）-2×（-

4

m

)，
=4+

8

m

（m＜-2）．
综上所述S₂=

4+2m  (-2＜m＜0) 4+ 8 m      (m＜-2)

．